Могут наложить арест на карту родственника за мои долги по ЖКХ ?

Нет, не могут. ФЗ “Об исполнительном производстве” позволяет обращать взыскание только на имущество должника и денежные средства должника.
Если ваш родственник не является должником по исполнительному производству, обратить взыскание на его денежные средства приставы не могут, даже если он проживает с вами совместно.